Формули скороченого висловлювання часто-густо застосовуються практично, отже їх усе бажано вивчити напам'ять. До цього моменту ми будемо служити вірою і правдою, яку ми рекомендуємо роздрукувати і весь час тримати перед очима:
Перші чотири формули із складеної таблиці формул скороченого множення дозволяють зводити в квадрат і куб суму або різницю двох виразів. П'ята призначена для короткого множення різниці та суми двох виразів. А шоста і сьома формули використовуються для множення суми двох виразів a та b на їх неповний квадрат різниці (так називають вираз виду a 2 −a·b+b 2 ) та різниці двох виразів a та b на неповний квадрат їх суми (a 2 + a b + b 2) відповідно.
Варто окремо помітити, що кожна рівність у таблиці є тотожністю . Цим пояснюється, чому формули скороченого множення ще називають тотожністю скороченого множення.
При вирішенні прикладів, особливо у яких має місце розкладання многочлена на множники , ФСУ часто використовують у вигляді з переставленими місцями лівими та правими частинами:
Три останніх тотожності в таблиці мають свої назви. Формула a 2 −b 2 =(a−b)·(a+b) називається формулою різниці квадратів, a 3 +b 3 =(a+b)·(a 2 −a·b+b 2) - формулою суми кубів, а a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+b 2) - формулою різниці кубів. Зверніть увагу, що відповідних формул з переставленими частинами з попередньої таблиці ФСУ ми не назвали.
Додаткові формули
У таблицю формул скороченого множення не завадить додати ще кілька тотожностей.
Сфери застосування формул скороченого множення (ФСУ) та приклади
Основне призначення формул скороченого множення (ФСУ) пояснюється їх назвою, тобто воно полягає в короткому множенні виразів. Однак сфера застосування ФСУ набагато ширша і не обмежується коротким множенням. Перелічимо основні напрямки.
Безперечно, центральний додаток формули скороченого множення знайшли у виконанні тотожних перетворень виразів . Найчастіше ці формули використовуються у процесі спрощення виразів.
приклад.
Спростіть вираз 9·y−(1+3·y) 2 .
Рішення.
У цьому виразі зведення у квадрат можна виконати скорочено, маємо 9·y−(1+3·y) 2 =9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2). Залишається лише розкрити дужки та навести подібні члени: 9·y−(1 2 +2·1·3·y+(3·y) 2)= 9·y−1−6·y−9·y 2 =3·y−1−9·y 2.
Звичайних дробів.
Додавання алгебраїчних дробів
Запам'ятайте!
Складати можна лише дроби з однаковими знаменниками!
Не можна складати дроби без перетворень
Можна складати дроби
При додаванні алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками:
- чисельник першого дробу складається з чисельником другого дробу;
- знаменник залишається тим самим.
Розглянемо приклад додавання алгебраїчних дробів.
Оскільки знаменник у обох дробів «2а», отже, дроби можна скласти.
Складемо чисельник першого дробу з чисельником другого дробу, а знаменник залишимо тим самим. При складанні дробів в отриманому чисельнику наведемо подібні.
Віднімання алгебраїчних дробів
При відніманні алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками:
- з чисельника першого дробу віднімається чисельник другого дробу.
- знаменник залишається тим самим.
Важливо!
Обов'язково укладіть у дужки весь чисельник дробу, що віднімається.
Інакше ви зробите помилку в знаках при розкритті дужок дробу, що віднімається.
Розглянемо приклад віднімання алгебраїчних дробів.
Так як у обох алгебраїчних дробів знаменник «2с», отже, ці дроби можна віднімати.
Віднімемо з чисельника першого дробу «(a + d)» чисельник другого дробу «(a − b)». Не забудемо укласти чисельник віднімається дробу в дужки. При розкритті дужок використовуємо правило розкриття дужок.
Приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника
Розглянемо інший приклад. Потрібно скласти алгебраїчні дроби.
У такому вигляді скласти дроби не можна, оскільки вони мають різні знаменники.
Перш ніж складати алгебраїчні дроби, їх необхідно привести до спільного знаменника.
Правила приведення алгебраїчних дробів до спільного знаменника дуже схожі правила приведення до спільного знаменника звичайних дробів. .
У результаті ми повинні отримати багаточлен, який без решти розділиться на кожен колишній знаменник дробів.
Щоб привести алгебраїчні дроби до спільного знаменниканеобхідно зробити таке.
- Працюємо з числовими коефіцієнтами. Визначаємо НОК (найменше загальне кратне) всім числових коефіцієнтів.
- Працюємо із багаточленами. Визначаємо всі різні багаточлени у найбільших ступенях.
- Добуток числового коефіцієнта та всіх різних багаточленів у найбільших ступенях і буде загальним знаменником.
- Визначаємо, на що потрібно помножити кожен алгебраїчний дріб, щоб отримати спільний знаменник.
Повернемося до нашого прикладу.
Розглянемо знаменники «15a» і «3» обох дробів і знайдемо їм спільний знаменник.
- Працюємо з числовими коефіцієнтами. Знаходимо НОК (найменше загальне кратне - це число, яке без залишку ділиться на кожен числовий коефіцієнт). Для "15" і "3" - це "15".
- Працюємо із багаточленами. Необхідно перерахувати всі багаточлени у найбільших ступенях. У знаменниках «15a» та «5» є тільки
один одночлен - "а". - Перемножимо НОК з п.1 "15" і одночлен "а" з п.2. У нас вийде "15a". Це буде спільним знаменником.
- Для кожного дробу запитаємо себе: «На що потрібно помножити знаменник цього дробу, щоб отримати «15a»?».
Розглянемо перший дріб. У цьому дробі і так знаменник «15a», отже, його не потрібно ні на що множити.
Розглянемо другий дріб. Задамо питання: «На що потрібно помножити «3», щоб отримати «15a»?» Відповідь - на "5a".
При приведенні до спільного знаменника дробу множимо на «5a » і чисельник, і знаменник.
Скорочений запис приведення алгебраїчного дробу до спільного знаменника можна записати через «будиночки».
Для цього тримаємо в думці спільний знаменник. Над кожним дробом зверху «в будиночку» пишемо, на що множимо кожен із дробів.
Тепер, коли дроби мають однакові знаменники, дроби можна скласти.
Розглянемо приклад віднімання дробів із різними знаменниками.
Розглянемо знаменники "(x - y)" і "(x + y)" обох дробів і знайдемо для них спільний знаменник.
У нас є два різні багаточлени у знаменниках «(x − y)» та «(x + y)». Їхнє твір буде спільним знаменником, тобто. "(x - y) (x + y)" - спільний знаменник. 
Додавання та віднімання алгебраїчних дробів за допомогою формул скороченого множення
У деяких прикладах, щоб привести дроби алгебри до спільного знаменника, потрібно використовувати формули скороченого множення .
Розглянемо приклад складання алгебраїчних дробів, де потрібно використовувати формулу різниці квадратів.
У першому дробі алгебри знаменник «(p 2 − 36) ». Очевидно, що до нього можна застосувати формулу різниці квадратів.
Після розкладання багаточлена (p 2 − 36) на твір багаточленів
"(p + 6) (p - 6)" видно, що в дробах повторюється багаточлен "(p + 6)". Отже, спільним знаменником дробів буде добуток багаточленів «(p + 6)(p − 6)».
У цій статті ми розглянемо основні дії з алгебраїчними дробами:
- скорочення дробів
- множення дробів
- розподіл дробів
Почнемо з скорочення алгебраїчних дробів.
Здавалося б, алгоритмочевидний.
Щоб скоротити алгебраїчні дроби, потрібно
1. Розкласти чисельник та знаменник дробу на множники.
2. Скоротити однакові множники.
Проте, школярі часто роблять помилку, "зменшуючи" не множники, а доданки. Наприклад, є любителі, які в дробі "зменшують" і отримують в результаті, що, зрозуміло, неправильно.
Розглянемо приклади:
1.
Скоротити дріб: 
1. Розкладемо на множники чисельник за формулою квадрата суми, а знаменник за формулою різниці квадратів
2. Розділимо чисельник та знаменник на
2.
Скоротити дріб: 
1. Розкладемо на множники чисельник. Так як чисельник містить чотири доданки, застосуємо угруповання.
2. Розкладемо на множники знаменник. Також застосуємо угруповання.
3. Запишемо дріб, який у нас вийшов і скоротимо однакові множники:
Розмноження алгебраїчних дробів.
При множенні дробів алгебри ми чисельник множимо на чисельник, а знаменник множимо на знаменник.
Важливо!Не потрібно поспішати виконувати множення у чисельнику та знаменнику дробу. Після того, як ми записали в чисельнику добуток чисельників дробів, а в знаменнику - добуток знаменників, потрібно розкласти на множники кожен множник і скоротити дріб.
Розглянемо приклади:
3. Спростіть вираз:
1. Запишемо добуток дробів: у чисельнику добуток чисельників, а у знаменнику добуток знаменників:
2. Розкладемо кожну дужку на множники:
Тепер нам потрібно скоротити однакові множники. Зауважимо, що вирази і відрізняються лише знаком: 
і в результаті розподілу першого виразу на друге отримаємо -1.
Отже, 
Розподіл алгебраїчних дробів ми виконуємо за таким правилом:
Тобто щоб розділити на дріб, потрібно помножити на "перевернутий".
Ми бачимо, що розподіл дробів зводиться до множення, а множення, зрештою, зводиться до скорочення дробів.
Розглянемо приклад:
4. Спростіть вираз:
У даному уроці буде розглянуто додавання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками. Ми вже знаємо, як складати і віднімати прості дроби з однаковими знаменниками. Виявляється, що алгебраїчні дроби підкоряються тим самим правилам. Уміння працювати з дробами з однаковими знаменниками є одним із наріжних каменів у вивченні правил роботи з дробами алгебри. Зокрема, розуміння цієї теми дозволить легко освоїти складнішу тему - додавання та віднімання дробів з різними знаменниками. У рамках уроку ми вивчимо правила складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками, а також розберемо цілу низку типових прикладів
Правило складання та віднімання алгебраїчних дробів з однаковими знаменниками
Сфор-му-лі-ру-єм пра-ві-ло сло-же-ня (ви-чи-та-ня) ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з оди-на-ко-ви -ми зна-ме-на-те-ля-ми (воно сов-па-да-є з ана-ло-гіч-ним пра-ві-лом для звичай-но-вен-них дро-бей): Тобто для сло-же-ня або ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з оди-на-ко-ви-ми зна-ме-на-те-ля-ми необ -хо-ді-мо зі-ставити зі-від-віт-ству-ю-щую ал-геб-ра-і-че-ську суму чис-ли-те-лей, а зна-ме-на-тель залишити без змін.
Це правило ми розберемо і на прикладі звичайних дро-бей, і на прикладі алгеб-ра-і-чеських дро-бей. бий.
Приклади застосування правила для звичайних дробів
Приклад 1. Складати дроби: .
Рішення
Сло-жим чис-ли-ті-лі дроб-бей, а зна-ме-на-тель залишимо таким же. Після цього раз-ло-жим чис-ли-тель і зна-ме-на-тель на прості про-мно-жи-те-ли і со-кра-тим. По-лучим: 
.
При-ме-ча-ня: стан-дарт-на помил-ка, ко-то-рую до-пус-ка-ють при розв'язанні по-доб-но-го роду при-ме-рів, за -клю-ча-є-ся в сл-ду-ю-щому спо-со-бе ре-ше-ня: 
. Це гру-бей-ша помилка, оскільки зна-мен-тель залишається таким же, яким був у вихідних дрібницях.
Приклад 2. Складати дроби: .
Рішення
Дана за-да-ча нічим не від-ли-ча-є-ся від попередньої: .
Приклади застосування правила для алгебраїчних дробів
Від звичай-но-венних дро-бей пе-рей-дем до ал-геб-ра-і-че-ським.
Приклад 3. Складати дроби: .
Рішення: як уже го-во-ри-лося вище, сло-же-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей нічим не від-ли-ча-є-ся від сло- же-ня звичай-но-вен-них дро-бей. Тому метод розв'язання такий самий: .
Приклад 4. Ви-честь дробу: .
Рішення
Ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей від-ли-ча-ет-ся від сло-же-ня лише тим, що в чис-ли-тель за- пи-си-ва-є-ся різн-ність чис-ли-те-лей ви-хід-них дро-бей. По-це-му.
Приклад 5. Ви-честь дробу: .
Рішення: .
Приклад 6. Спростити: .
Рішення: .
Приклади застосування правила з наступним скороченням
У дробі, ко-то-рая по-лу-ча-ет-ся в ре-зуль-та-ті сло-же-ня чи ви-чи-та-ня, мож-ни со-кра-ще- ня. Крім того, не варто за-бувати про ОДЗ ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей.
Приклад 7. Спростити: .
Рішення: .
При цьому . Во-обще, якщо ОДЗ ви-хідних дро-бей сов-па-да-ет з ОДЗ итого-вою, то його можна не вка-зи-вати (адже дріб, по-лу-чен- ная у від-ві-ті, також не буде су-ще-ство-вати при со-від-віт-ству-ють зна-че-ні-ях пере-мін-них). А от якщо ОДЗ ви-хідних дро-бей і відповіді не сов-па-да-є, то ОДЗ вказувати необ-ходимо.
Приклад 8. Спростити: .
Рішення: . При цьому y (ОДЗ ви-хідних дро-бей не сов-па-да-є з ОДЗ ре-зуль-та-та).
Додавання та віднімання звичайних дробів з різними знаменниками
Щоб склада-ти-вати і ви-читати ал-геб-ра-і-че-ські дроби з роз-ни-ми зна-ме-на-те-ля-ми, про-ве-демо ана-ло -гію з звичай-но-вен-ни-ми дро-бя-ми і пе-ре-не-сім її на ал-геб-ра-і-че-ські дроби.
Розглянув-рім найпростіший приклад для звичай-но-вен-них дробів.
Приклад 1.Складати дроби: .
Рішення:
Згадай-мо пра-ві-ло сло-же-ня дро-бей. Для початку дробу необхідно привести до загального знамені. У ролі об-щого зна-ме-на-те-ля для звичай-но-вен-них дро-бей ви-сту-па-є найменше загальне кратне(НОК) ис-ход-них зна-ме-на-те-лей.
Опре-де-ле-ня
Найменше на-ту-раль-не число, ко-то-рое де-літ-ся од-но-вре-мен-но на числа і .
Для нахо-дення НОК необхо-ди-мо роз-ло-жити зна-ме-на-ті-ли на про-сті багато-жи-те-ли, а потім ви-брати все про- сті мно-жи-те-ли, ко-то-ры входять у раз-ло-же-ние обох зна-ме-на-те-лей.
; . Тоді в НОК чисел повинні входити дві двійки і дві трійки: .
Після нахо-дення об-ще-го зна-ме-на-те-ля, необ-хо-ди-мо для кожної з дро-бей знайти до-пов-ні-тель-ний багато- жи-тель (фак-ти-че-ськи, по-ділити загальний зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель зі-від-вет-ству-ю-щої дробу).
Потім кожен дріб розумно-жа-ет-ся на полу-чен-ний до-пов-ни-тель-ний багато-жи-тель. По-лу-ча-ють-ся дроби з оди-на-ко-ви-ми зна-ме-на-те-ля-ми, склад-ди-вати і ви-читати ко-то-ри ми на -вчилися на минулих уроках.
По-лу-ча-єм: 
.
Відповідь:.
Роз-смот-рим тепер сло-же-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з раз-ни-ми зна-ме-на-те-ля-ми. Сна-ча-ла роз-смот-рим дробу, зна-ме-на-те-ли ко-то-рих яв-ля-ють-ся чис-ла-ми.
Додавання та віднімання алгебраїчних дробів з різними знаменниками
Приклад 2.Складати дроби: .
Рішення:
Ал-го-ритм рішення аб-со-лют-но ана-ло-гі-чен пред-ду-ще-му при-ме-ру. Легко по-до-брати загальний зна-ме-на-тель дан-них дрібниць: і до-пов-ні-тель-ні багато хто для кожної з них.
.
Відповідь:.
Отже, сфор-му-лі-ру-єм ал-го-ритм сло-же-ня і ви-чи-та-ня ал-геб-ра-і-че-ських дро-бей з роз-ни-ми зна-ме-на-те-ля-ми:
1. Знайти найменший загальний зна-мен-тель дро-бей.
2. Знайти до-пов-ні-тель-ні багато-жи-те-ли для кож-ної з дро-бей (поді-лів загальний зна-ме-на-тель на зна-ме-на-тель дан ного дробу).
3. До-мно-жити чис-ли-те-ли на со-від-віт-ству-ючі-до-пов-ні-тель-ні багато-жи-те-ли.
4. Складати або відняти дроби, користуючись пра-ві-ла-ми сло-же-ня і ви-чі-та-ня дро-бей з оди-на-ко-ви-ми знання -Ме-на-те-ля-ми.
Рас-смот-рим те-пер приклад з дро-бя-ми, в зна-ме-на-те-лі ко-то-рих при-сут-ють бук-вен-ні ви-ра-же -Нія.
Відверто кажучи, ці формули має пам'ятати будь-який учень сьомого класу. Вивчати алгебру навіть на шкільному рівні і не знати формули різниці квадратів або, скажімо, квадрата суми, просто неможливо. Вони постійно зустрічаються при спрощенні виразів алгебри, при скороченні дробів і навіть можуть допомогти в арифметичних обчисленнях. Ну, наприклад, вам потрібно обчислити в умі: 3,16 2 – 2 3,16 1,16 + 1,16 2 . Якщо ви почнете рахувати це "в лоб", вийде довго і нудно, а якщо скористаєтеся формулою квадрата різниці, відповідь отримаєте за 2 секунди!
Отже, сім формул "шкільної" алгебри, які мають знати все:
| Назва | Формула |
| Квадрат суми | (A + B) 2 = A 2 + 2AB + B 2 |
| Квадрат різниці | (A - B) 2 = A 2 - 2AB + B 2 |
| Різниця квадратів | (A - B)(A + B) = A 2 - B 2 |
| Куб суми | (A + B) 3 = A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 |
| Куб різниці | (A - B) 3 = A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 |
| Сума кубів | A 3 + B 3 = (A + B) (A 2 - AB + B 2) |
| Різниця кубів | A 3 - B 3 = (A - B) (A 2 + AB + B 2) |
Зверніть увагу: жодної формули суми квадратів немає! Не дозволяйте своїй фантазії заходити надто далеко.
Як найпростіше запам'ятати всі ці формули? Ну, скажімо, побачити певні аналогії. Наприклад, формула квадрата суми схожа на формулу квадрата різниці (відмінність лише одному знаку), а формула куба суми - на формулу куба різниці. Далі, у складі формул різниці кубів та суми кубів ми бачимо щось схоже на квадрат суми та квадрат різниці (тільки коефіцієнта 2 не вистачає).
Але найкраще ці формули (як і будь-які інші!) запам'ятовуються практично. Вирішуйте більше прикладів на спрощення алгебраїчних виразів, і всі ф-ли запам'ятаються самі собою.
Допитливим школярам, мабуть, цікаво узагальнити наведені факти. Ось, скажімо, існують формули квадрата та куба суми. А що, якщо розглянути вирази типу (A + B) 4 , (A + B) 5 і навіть (A + B) n , де n – довільне натуральне число? Чи можна побачити тут якусь закономірність?
Так, така закономірність існує. Вираз виду (A + B) n називається біном Ньютона. Я рекомендую допитливим школярам самим вивести формули для (A + B) 4 і (A + B) 5 , а далі спробувати побачити загальний закон: порівняти, наприклад, ступінь відповідного бінома та ступінь кожного з доданків, що виходять при розкритті дужок; порівняти ступінь бінома з кількістю доданків; спробувати знайти закономірності у коефіцієнтах. Ми не будемо зараз заглиблюватися в цю тему (для цього потрібна окрема розмова!), а лише запишемо готовий результат:
(A + B) n = A n + C n 1 A n-1 B + C n 2 A n-2 B 2 + ... + C n k A n-k B k + ... + B n .
Тут Cnk=n!/(k!(n-k)!).
Нагадую, що n! - це 1 2 ... n - добуток всіх натуральних чисел від 1 до n. Називається цей вираз факторіалом числа n. Наприклад, 4! = 1 2 3 4 = 24. Факторіал нуля вважається рівним одиниці!
А що можна сказати з приводу різниці квадратів, різниці кубів тощо? Чи існує тут якась закономірність? Чи можна навести загальну формулу для A n - B n ?
Так можна. Ось ця формула:
A n - B n = (A - B) (A n-1 + A n-2 B + A n-3 B 2 + ... + B n-1).
Більше того, для непарнихступенів n існує аналогічна ф-ла для суми:
A n + B n = (A + B) (A n-1 - A n-2 B + A n-3 B 2 - ... + B n-1).
Ми не будемо зараз виводити ці формули (до речі, це не дуже складно), але знати про їхнє існування, безумовно, корисно.
