Розглянемо рівняння із двома змінними
Пара значень змінних, що обертає рівняння з двома змінними на правильну рівність, називається рішенням рівняння. Якщо дано рівняння з двома змінними х і у, прийнято у запису його рішення перше місце ставити значення змінної друге - значення у.
Так, пари є рішеннями рівняння, водночас пара (1; 5) рішенням рівняння не є.
Це рівняння має інші рішення. Для їх відшукання зручно виразити одну змінну через іншу, наприклад х через у отримавши рівняння . Вибравши довільне значення у, обчислимо відповідне значення x. Наприклад, якщо це означає, пара (31; 7) є рішенням рівняння; якщо це означає, пара (4; -2) також є рішенням заданого рівняння тощо.
Рівняння з двома змінними називаються рівносильними, якщо вони мають одні й самі рішення.
Для рівнянь із двома змінними справедливі теореми 5.1 та 5.2 (див. п. 135) про рівносильні перетворення рівняння.
Конспект уроку з математики
на тему:
« Раціональні рівняння із двома змінними.
Основні поняття».
Підготувала:
Вчитель математики
МБОУ ЗОШ №2
Борщова Є. З.
Павловський Посад
Тип уроку: вивчення нового матеріалу
Тема урока: раціональні рівняння з двома змінними Основні поняття.
Цілі:
запровадити основні поняття та терміни теми;
розвивати математичну мову та мислення учнів.
Обладнання: дошка для записів, проектор, екран, презентації.
Організаційний момент. (2 – 3 хв.)
(1 слайд)
Здрастуйте, хлопці, сідайте! Сьогодні ми з вами розглянемо нову, досить цікаву тему, яка стане запорукою успішного засвоєння майбутнього матеріалу. Відкриваємо робочі зошити, записуємо число, сьогодні 16 жовтня, класна робота та тему уроку: «Раціональні рівняння із двома змінними. Основні поняття". (вчитель теж записує на дошці)
II . Актуалізація знань. (5 хв.)
(2 слайд)
Для того, щоб розпочати вивчення нової теми, нам необхідно згадати деякий матеріал, який ви вже знаєте. Отже, пригадаємо елементарні функції та їх графіки:
1. Графік лінійної функції
2. Парабола. Графік квадратичної функції 
, (а ≠ 0)
Розглянемо канонічний випадок:
3. Кубічна парабола
Кубічна парабола задається функцією
4. Графік гіперболи
Знову ж таки згадуємо тривіальну гіперболу
Дуже добре!
III . Вивчення нового матеріалу (супроводжується презентацією). (35 хв.)
(3 слайд)
На попередніх уроках ви вивчили визначення раціонального рівняння з однією змінною, і зараз ми говоримо, що воно дуже схоже на визначення раціонального рівняння з двома змінними:
Його записувати не потрібно, воно є у ваших підручниках, ще раз прочитаєте його вдома та вивчіть!
А в зошиті запишіть приклади:
Далі можна сказати, що раціональне рівняння виду h(x; y) = g (x; y) завжди можна перетворити на вигляд p (x; y) = 0, де p (x; y) = 0 - раціональне вираз. Для цього потрібно переписати вираз так: h (x; y) - g (x; y) = 0, тобто p (x; y) = 0. останні дві рівності запишіть собі в зошиті!
(4 слайд)
Наступне визначення уважно слухаємо та запам'ятовуємо, записувати його не потрібно!
А в зошиті запишіть лише приклади:
(5 слайд)
Вирішимо таке рівняння (учні записують рішення у зошиті, вчитель коментує кожен крок рішення, паралельно відповідаючи на запитання дітей):
(6 слайд)
Наступне визначення, це визначення рівносильності двох рівнянь, його ви теж знаєте з попередніх параграфів, тому просто дивимося і слухаємо:
Тепер давайте згадаємо, які ви знаєте рівносильні перетворення:
Перенесення членів рівняння з однієї частини до іншої з протилежними знаками (приклади на дошці, їх можете не записувати, хто хоче – запишіть);
Множення або розподіл обох частин рівняння на одне й те ж число відмінне від нуля або (ще ми знаємо) на вираз, скрізь відмінне від нуля (зверніть на це увагу!); (Приклади кому потрібно запишіть).
А які знаєте нерівносильні перетворення?
1) звільнення від знаменників, які містять змінні;
2) зведення обох частин рівняння квадрат.
Прекрасно!
(7 слайд)
Наступне поняття, яке ми розглянемо сьогодні, записуємо – формула відстані між двома точками.
Пишіть:
(учні обидві теореми записують собі у зошити)
Цей малюнок перемальовуємо у зошиті, підписуємо осі координат, центр кола, відзначаємо радіус.
Чи є у вас якісь питання? (якщо питань немає, продовжуємо роботу)
(8 слайд)
Розглянемо приклади, записуйте:
(Мал. до П1) 
(Мал. до П2)
Діти поступово, виходячи з вище записаної теореми, відповідаючи питання вчителя, самостійно вирішують, записують рішення у зошити, малюнки перемальовують.
Молодці! А зараз, перемалюйте собі таку таблицю, вона стане добрим помічником надалі при вирішенні завдань.
(9 слайд)
Учні акуратно, кожен у зошитах малює цю таблицю і заносить у ній дані.
V.Домашнє завдання (2-3 хв.).
(10 слайд)
До кінця уроку залишилося 2 хвилини, відкриваємо щоденники, записуємо домашнє завдання:
1) Глава 2, §5;
2) стор. 71 питання для самоперевірки;
3) №5.1; № 5.3 (а, б); №5.7.
Самоаналіз.
Початок уроку був досить доброзичливим, щирим, відкритим та організованим. Клас до уроку було підготовлено. Діти протягом уроку показували хорошу працездатність.
Мною одразу були озвучені цілі уроку. Цілі, запропоновані дітям на урок, відповідали програмним вимогам, змісту матеріалу.
На початку уроку, як активізацію пізнавальної діяльності, дітям було запропоновано згадати деякий матеріал з раніше вивченого матеріалу, з чим вони впоралися без будь-яких особливих труднощів.
Зміст уроку відповідав вимогам освітнього стандарту.
Структура уроку запропонована вище. На мій погляд, цілям та типу уроку вона відповідає. Етапи уроку були логічно пов'язані, плавно переходили один до одного. На кожному з етапів підбивалися підсумки. Час розподілялося деякі етапи по-різному залежно від цього, який їх був основним. На мою думку, воно було розподілене раціонально. Початок та кінець уроку були організованими. Темп ведення уроку був оптимальним.
Після першого етапу актуалізації знань відбувався основний етап уроку – пояснення нового матеріалу. Цей етап був головним, тому основний час було приділено саме йому.
Викладення нового матеріалу було логічним, грамотним, на високому теоретичному і одночасно доступному для дітей рівні. Головні думки на тему завжди мною виділялися і записувалися учнями в робочі зошити.
Вивчення нового матеріалу було проведено у формі невеликої лекції з виконанням елементарних практичних завдань для найбільш швидкого та правильного засвоєння матеріалу.
Мною було виконано презентацію у програмі PowerPoint. Презентація мала переважно допоміжну функцію.
З метою контролю за засвоєнням знань протягом усього уроку учні вирішували завдання, за результатами чого я могла судити про ступінь засвоєння теоретичного матеріалу кожним з дітей. Після проведення контролю знань учителем було проведено корекційну роботу. Ті питання, які викликали у учнів найбільшу скруту, було розглянуто ще раз.
Після цього було підбито підсумок уроку та учням запропоновано домашнє завдання. Домашнє завдання було закріплюючого, розвиваючого характеру. На мій погляд, воно було посильним для всіх дітей.
Зміст уроку було оптимальним, методи навчання – усний, наочний та практичний. Форма роботи – розмова. Я використала прийоми активізації пізнавальної діяльності – це постановка проблемних питань, узагальнення за планами узагальненого характеру.
Учні на уроці були активними. Вони показали вміння продуктивно працювати, робити висновки з побаченого, вміння аналізувати та узагальнювати свої знання. Також діти показали наявність навичок самоконтролю, але лише одиниці були непосидючі, і їм приділялася найбільша увага з мого боку.
Клас до уроку було підготовлено.
Я вважаю, що мети поставлені на початку уроку досягнуто.
Ми вже навчилися розв'язувати квадратні рівняння. Тепер поширимо вивчені методи на раціональні рівняння.
Що таке раціональний вираз? Ми вже стикалися з цим поняттям. Раціональними виразаминазиваються вирази, складені з чисел, змінних, їх ступенів та знаків математичних дій.
Відповідно, раціональними рівняннями називаються рівняння виду: , де 
- Раціональні висловлювання.
Раніше ми розглядали лише ті раціональні рівняння, що зводяться до лінійних. Тепер розглянемо і ті раціональні рівняння, які зводяться до квадратних.
Приклад 1
Вирішити рівняння: .
Рішення:
Дроб дорівнює 0 тоді і лише тоді, коли її чисельник дорівнює 0, а знаменник не дорівнює 0.
Отримуємо таку систему:
Перше рівняння системи – це квадратне рівняння. Перш ніж його вирішувати, поділимо всі його коефіцієнти на 3. Отримаємо:
Отримуємо два корені: ; .
Оскільки 2 ніколи не дорівнює 0, необхідно, щоб виконувались дві умови: 
. Оскільки жоден із отриманих вище коренів рівняння не збігається з неприпустимими значеннями змінної, які вийшли при вирішенні другої нерівності, вони обидва є рішеннями цього рівняння.
Відповідь:.
Отже, давайте сформулюємо алгоритм розв'язання раціональних рівнянь:
1. Перенести всі складові до лівої частини, щоб у правій частині вийшов 0.
2. Перетворити та спростити ліву частину, привести всі дроби до спільного знаменника.
3. Отриманий дріб прирівняти до 0, за таким алгоритмом: 
.
4. Записати те коріння, яке вийшло в першому рівнянні і задовольняє другу нерівність, у відповідь.
Давайте розглянемо ще один приклад.
Приклад 2
Вирішити рівняння: 
.
Рішення
На самому початку перенесемо всі складові в ліву сторону, щоб праворуч залишився 0. Отримуємо:
Тепер наведемо ліву частину рівняння до спільного знаменника:
Дане рівняння еквівалентне системі:
Перше рівняння системи – це квадратне рівняння.
Коефіцієнти цього рівняння: . Обчислюємо дискримінант:
Отримуємо два корені: ; .
Тепер розв'яжемо другу нерівність: добуток множників не дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли жоден з множників не дорівнює 0.
Необхідно, щоб виконували дві умови: 
. Отримуємо, що з двох коренів першого рівняння підходить лише один – 3.
Відповідь:.
На цьому уроці ми згадали, що такий раціональний вираз, а також навчилися вирішувати раціональні рівняння, які зводяться до квадратних рівнянь.
На наступному уроці ми розглянемо раціональні рівняння моделі реальних ситуацій, а також розглянемо завдання на рух.
Список літератури
- Башмаков М.І. Алгебра, 8 клас. - М: Просвітництво, 2004.
- Дорофєєв Г.В., Суворова С.Б., Бунімович Є.А. та ін Алгебра, 8. 5-те вид. - М: Просвітництво, 2010.
- Микільський С.М., Потапов М.А., Решетніков Н.М., Шевкін А.В. Алгебра, 8 клас. Підручник для загальноосвітніх установ. - М: Просвітництво, 2006.
- Фестиваль педагогічних ідей "Відкритий урок" ().
- School.xvatit.com ().
- Rudocs.exdat.com ().
Домашнє завдання
Найменший загальний знаменник використовується для спрощення рівняння.Цей метод застосовується в тому випадку, коли ви не можете записати дане рівняння з одним раціональним виразом на кожній стороні рівняння (і скористатися методом множення навхрест). Цей метод використовується, коли вам дано раціональне рівняння з 3 або більше дробами (у разі двох дробів краще застосувати множення навхрест).
Знайдіть найменший загальний знаменник дробів (або найменший загальний кратний).НОЗ - це найменше число, яке ділиться націло на кожен знаменник.
- Іноді НОЗ – очевидна кількість. Наприклад, якщо дано рівняння: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, очевидно, що найменшим загальним кратним для чисел 3, 2 і 6 буде 6.
- Якщо НОЗ не є очевидним, випишіть кратні найбільшого знаменника і знайдіть серед них такий, який буде кратним і для інших знаменників. Найчастіше НОЗ можна знайти, просто перемноживши два знаменники. Наприклад, якщо дано рівняння x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8 * 9 = 72.
- Якщо один або кілька знаменників містять змінну, процес дещо ускладнюється (але не стає неможливим). У цьому випадку НОЗ є виразом (що містить змінну), яке ділиться на кожен знаменник. Наприклад, у рівнянні 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), тому що цей вираз поділяється на кожен знаменник: 3x(х-1)/(х-1 ) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).
Помножте і чисельник, і знаменник кожного дробу на число, що дорівнює результату поділу НОЗ на відповідний знаменник кожного дробу. Так як ви множите і чисельник, і знаменник на одне й те саме число, то фактично ви множите дріб на 1 (наприклад, 2/2 = 1 або 3/3 = 1).
- Таким чином, у нашому прикладі помножте х/3 на 2/2, щоб отримати 2x/6, і 1/2 помножте на 3/3, щоб отримати 3/6 (дрібні 3x +1/6 множити не треба, оскільки її знаменник дорівнює 6).
- Дійте аналогічно у випадку, коли змінна знаходиться у знаменнику. У другому прикладі НОЗ = 3x(x-1), тому 5/(x-1) помножте на (3x)/(3x) і отримайте 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x помножте на 3(x-1)/3(x-1) та отримайте 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) помножте на (x-1)/(x-1) та отримайте 2(x-1)/3x(x-1).
Знайдіть х.Тепер, коли ви привели дроби до спільного знаменника, ви можете позбавитися знаменника. Для цього помножте кожну сторону рівняння на спільний знаменник. Потім розв'яжіть отримане рівняння, тобто знайдіть «х». Для цього відокремте змінну на одній із сторін рівняння.
- У прикладі: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Ви можете скласти два дроби з однаковим знаменником, тому запишіть рівняння як: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Помножте обидві частини рівняння на 6 і позбавтеся знаменників: 2x+3 = 3x +1. Розв'яжіть та отримайте х = 2.
- У другому прикладі (зі змінною в знаменнику) рівняння має вигляд (після приведення до спільного знаменника): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2 (x-1)/3x(x-1). Помноживши обидві сторони рівняння на НОЗ, ви позбавитеся знаменника і отримаєте: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), або 15x = 3x - 3 + 2x -2, або 15х = х - 5 Розв'яжіть та отримайте: х = -5/14.
В курсі математики 7 класу вперше зустрічаються з рівняннями з двома змінними, але вивчаються вони лише контексті систем рівнянь із двома невідомими. Саме тому з поля зору випадає ціла низка завдань, у яких на коефіцієнти рівняння введені деякі умови, що їх обмежують. Крім того, залишаються поза увагою і методи розв'язання завдань типу «Вирішити рівняння в натуральних чи цілих числах», хоча в матеріалах ЄДІ та на вступних іспитах завдання такого роду зустрічаються дедалі частіше.
Яке рівняння називатиметься рівнянням із двома змінними?
Так, наприклад, рівняння 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 або xy = 12 є рівняннями з двома змінними.
Розглянемо рівняння 2x - y = 1. Воно звертається в правильну рівність при x = 2 і y = 3, тому ця пара значень змінних є рішенням рівняння, що розглядається.
Таким чином, рішенням будь-якого рівняння з двома змінними є безліч упорядкованих пар (x; y), значень змінних, які це рівняння перетворюють на правильну числову рівність.
Рівняння із двома невідомими може:
а) мати одне рішення.Наприклад, рівняння x 2 + 5y 2 = 0 має єдине рішення (0; 0);
б) мати кілька рішень.Наприклад, (5 -|x|) 2 + (|y| - 2) 2 = 0 має 4 рішення: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);
в) не мати рішень.Наприклад, рівняння x 2 + y 2 + 1 = 0 немає рішень;
г) мати нескінченно багато рішень.Наприклад, x + y = 3. Розв'язаннями цього рівняння будуть числа, сума яких дорівнює 3. Безліч рішень даного рівняння можна записати у вигляді (k; 3 – k), де k – будь-яке дійсне число.
Основними методами розв'язання рівнянь із двома змінними є методи, що ґрунтуються на розкладанні виразів на множники, виділення повного квадрата, використання властивостей квадратного рівняння, обмеженості виразів, оціночні методи. Рівняння, як правило, перетворюють на вид, з якого можна отримати систему для знаходження невідомих.
Розкладання на множники
приклад 1.
Розв'язати рівняння: xy – 2 = 2x – y.
Рішення.
Групуємо складові для розкладання на множники:
(xy + y) - (2x + 2) = 0. З кожної дужки винесемо загальний множник:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1) (y - 2) = 0. Маємо:
y = 2, x - будь-яке дійсне число або x = -1, y - будь-яке дійсне число.
Таким чином, відповіддю є всі пари виду (x; 2), x € R та (-1; y), y € R.
Рівність нулю невід'ємних чисел
приклад 2.
Розв'язати рівняння: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Рішення.
Групуємо:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Тепер кожну дужку можна згорнути за формулою квадрата різниці.
(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0.
Сума двох невід'ємних виразів дорівнює нулю, тільки якщо 3x – 2 = 0 та 2y – 3 = 0.
Отже, x = 2/3 і y = 3/2.
Відповідь: (2/3; 3/2).
Оцінний метод
приклад 3.
Розв'язати рівняння: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.
Рішення.
У кожній дужці виділимо повний квадрат:
((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. Оцінимо 
значення виразів, що стоять у дужках.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 і (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, тоді ліва частина рівняння завжди не менше 2. Рівність можлива, якщо:
(x + 1) 2 + 1 = 1 та (y - 2) 2 + 2 = 2, а значить x = -1, y = 2.
Відповідь: (-1; 2).
Познайомимося з ще одним методом розв'язання рівнянь із двома змінними другого ступеня. Цей метод у тому, що рівняння сприймається як квадратне щодо будь-якої змінної.
приклад 4.
Розв'язати рівняння: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Рішення.
Розв'яжемо рівняння як квадратне щодо x. Знайдемо дискримінант:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Рівняння матиме рішення лише за D = 0, т. е. у разі, якщо y = 4. Підставляємо значення y у вихідне рівняння і бачимо, що x = 3.
Відповідь: (3; 4).
Часто в рівняннях із двома невідомими вказують обмеження на змінні.
Приклад 5.
Розв'язати рівняння у цілих числах: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Рішення.
Перепишемо рівняння у вигляді x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Права частина отриманого рівняння при розподілі на 5 дає в залишку 2. Отже, x 2 не ділиться на 5. Але квадрат числа, що не ділиться на 5, дає в залишку 1 або 4. Таким чином, рівність неможлива і рішень немає.
Відповідь: немає коріння.
Приклад 6.
Розв'язати рівняння: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Рішення.
Виділимо повні квадрати у кожній дужці:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ліва частина рівняння завжди більша або дорівнює 3. Рівність можлива за умови |x| – 2 = 0 та y + 3 = 0. Таким чином, x = ± 2, y = -3.
Відповідь: (2; -3) та (-2; -3).
Приклад 7.
Для кожної пари цілих негативних чисел (x; y), що задовольняють рівняння
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, обчислити суму (x + y). У відповіді вказати найменшу із сум.
Рішення.
Виділимо повні квадрати:
(x 2 - 2xy + y 2) + (Y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Оскільки x і y – цілі числа, їх квадрати також цілі числа. Суму квадратів двох цілих чисел, що дорівнює 37, отримаємо, якщо складаємо 1 + 36. Отже:
(x – y) 2 = 36 та (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 та (y + 2) 2 = 36.
Вирішуючи ці системи та враховуючи, що x та y – негативні, знаходимо рішення: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Відповідь: -17.
Не варто впадати у відчай, якщо при вирішенні рівнянь з двома невідомими у вас виникають труднощі. Небагато практики, і ви зможете впоратися з будь-якими рівняннями.
Залишились питання? Не знаєте, як вирішувати рівняння із двома змінними?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
